SeniorenNet

Onlangs kreeg ik de vraag voorgeschoteld of 0,999... (oneindig herhalend) gelijk is aan 1? Of blijft er altijd wel een verschil?

Voor die gelijkheid dat 0,999... = 1 werd het volgende simpele bewijs aangevoerd:

1) Stel X = 0,999…

2) Vermenigvuldig beide zijden met 10:

10 X = 9,999….

3) Dit kun je herschrijven als

10 X = 9 + 0,999…

4) Aangezien we in regel 1 gesteld hebben dat X = 0,999… kan dit geschreven worden als

10 X = 9 + X

5) Vervolgens van beide zijden X aftrekken:

10 X – X = 9

6) Dus:

9 X = 9
X = 9/9 = 1

Besluit: 0,999… = 1


Zou er in deze korte algebraïsche vergelijking ergens een fout gemaakt zijn of een niet-toelaatbare stap gezet zijn die tot dit eigenaardige resultaat leidt? Ik vind die fout niet en dus wil ik best het besluit voor waar aanvaarden.

10 X = 9 + X

5) Vervolgens van beide zijden X aftrekken:

10 X – X = 9 + X - X
of 10 X = 9 + X

6) Dus:

fout, opeens is 10X gelijk aan 9X, en de rechterkant moet 9 + X zijn

9 X = 9
X = 9/9 = 1

Besluit: 0,999… = 1

pastoor schreef: ↑

11 okt 2022, 13:45

10 X = 9 + X

5) Vervolgens van beide zijden X aftrekken:

10 X – X = 9 + X - X
of 10 X = 9 + X

6) Dus:

fout, opeens is 10X gelijk aan 9X, en de rechterkant moet 9 + X zijn

In stap 5 trekt men van 10 X één keer X af. Dan blijft er aan de linkerzijde nog 9 X staan.

Maar aan de rechterzijde stond 9 + X. Daarvan trek je één X af. Dus 9 + X - X en dan blijft er enkel die 9 staan.
(Die schrijfwijze "9 + X - X" heb ik overgeslagen omdat ik vermoedde dat dit wel duidelijk was)

Dan zie je dat 9 X = 9 waaruit volgt dat X = 9/9 = 1.

Doe het eens met echte cijfers!
Gewoon zonder de x uit de algebra ...

10 maal 0,999 = 9,999 = 9 + 0,999

aan beide zijde 0,999 aftrekken

9 = 9

Maar nu heb je niet bewezen dat je vertrekpunt ook waar is nl. dat " 0,999... = 1 "

Wat wil je dan bewijzen dat een oneindig getal gelijk is aan 1 ???
Veel succes

In regel 5) haal je je oneindig getal uit de vergelijking ... natuurlijk blijft er dan een veelvoud van 1 over

5 maal 0,999 = 4,995 = 3,996 + 0,999
aan beide zijde 0,999 aftrekken
3,996 = 3,996

E.T. schreef: ↑

11 okt 2022, 15:28

Wat wil je dan bewijzen dat een oneindig getal gelijk is aan 1 ???
Veel succes

Wat moet bewezen worden is dat 0,999... (oneindig herhalend) gelijk is aan 1.
Uit die vergelijking komt dat als besluit.

E.T. schreef: ↑

11 okt 2022, 15:32

In regel 5) haal je je oneindig getal uit de vergelijking ... natuurlijk blijft er dan een veelvoud van 1 over

2 opmerkingen:

1. in regel 5 en ook in regel 6 blijft X aanwezig. Dus het oneindig getal 0,999... is nog steeds in die vergelijking aanwezig.

2. we eindigen in die vergelijking niet met een veelvoud van 1 maar wel met 0,999.... = 1

E.T. schreef: ↑

11 okt 2022, 15:58

5 maal 0,999 = 4,995 = 3,996 + 0,999

• Opgelet: het gaat niet om 0,999 maar wel om 0,999... oneindig herhalend! Dat is een verschil.
Want 5 x 0,999... is niet gelijk aan 4,995. Wel aan 4,999.... enz.

• Je kunt die algebraïsche vergelijking ook maken door te vermenigvuldigen met 5 i.p.v. met 10, maar dan is de redenering die erachter zit exact dezelfde. Dat voegt niets nieuws toe aan het geheel. Die werkwijze legt ook geen enkele fout in de redenering bloot.

Ik vraag me af of er wel een fout in zit? Indien dat niet zo is, dan is 0,999... (oneindig herhalend) gewoon gelijk aan 1. Volgens mij móet dat wel het besluit zijn.

Droom verder of anders terug je wiskunde handboek er even opnieuw bij nemen ...

1> 0,999999999999999999999999999...

Als dat waar is wat je schrijft, dan moet er in de algebraïsche vergelijking ergens een fout zitten. Die zou ik dan wel willen kennen. Zie jij ze? Ik niet.

Het is natuurlijk zo dat onze intuïtie ons naar jouw conclusie leidt, maar wiskunde en intuïtie zijn niet altijd in overeenstemming.

Intuïtie ???
Jouw onvermogen om de fout in je vergelijking te zien doet je hier dingen neerschrijven in de aard van 2+2=5

OK. Ik geef toe dat ik niet in staat ben de fout in de vergelijking te ontdekken. Heb jij er dan wél zicht op waar die fout zit? Ik denk van niet.

Anderzijds heb ik goede (of toch voldoende) basiskennis van algebra en ik pas die regels gewoon toe. Dat leidt mij naar het besluit dat 0,999... (oneindig herhalend) = 1.