Wiskundig probleem
-
Dicksy - Lid geworden op: 11 jul 2019, 20:17
En dat is mijn punt dat ik wil maken met die 1 op 2.Het is mogelijk dat het goud is. Het is mogelijk dat het zilver is. M.a.w. dat wat mogelijk is, is dat wat kan. Dus: het kán goud zijn en het kán zilver zijn.
Vanaf dat er platina bijkomt vervalt ook mijn punt.
-
Wil. - Lid geworden op: 15 nov 2005, 19:41
Dat punt stond nooit ter discussie. Het was een gegeven vóórdat het denkwerk begon.
[Het woord platina heb ik in deze oefening nooit gebruikt - daarover hebben we het niet. Het gegeven is het gegeven en meer niet]
Nochtans schreef je als antwoord op mijn vraag naar de essentie, naar de hoofdzaak, naar de kern:
Dat antwoord was fout.
-
Wil. - Lid geworden op: 15 nov 2005, 19:41
Het volgende probleem om te overdenken sluit aan bij, en vloeit voort uit de discussie op de vorige bladzijden:
Stel dat je het voorstel krijgt dat je in een spel bij winst jouw inzet van tien euro kunt verdubbelen als je met een dobbelsteen in vier keer minstens één keer 6 gooit; zo niet, dan bent je de inzet kwijt.
• Ga je daarop in omdat je weet dat je er een financieel voordeel mee kunt doen? Hoe leg je de redenering uit?
• En als je 6 keer zou mogen gooien, zou je er dan op ingaan? Hoe leg je de redenering ook hier uit?
Belangrijk in deze vraag: welk verschil zou dat maken 4 worpen of 6 worpen – als er tenminste al enig verschil is? Je hoort immers wel eens: ofwel gooi je een 6, ofwel niet: 1 kans op 2 en dat blijft altijd zo hoe vaak je ook mag gooien.
Wat is je mening?
Stel dat je het voorstel krijgt dat je in een spel bij winst jouw inzet van tien euro kunt verdubbelen als je met een dobbelsteen in vier keer minstens één keer 6 gooit; zo niet, dan bent je de inzet kwijt.
• Ga je daarop in omdat je weet dat je er een financieel voordeel mee kunt doen? Hoe leg je de redenering uit?
• En als je 6 keer zou mogen gooien, zou je er dan op ingaan? Hoe leg je de redenering ook hier uit?
Belangrijk in deze vraag: welk verschil zou dat maken 4 worpen of 6 worpen – als er tenminste al enig verschil is? Je hoort immers wel eens: ofwel gooi je een 6, ofwel niet: 1 kans op 2 en dat blijft altijd zo hoe vaak je ook mag gooien.
Wat is je mening?
-
Wil. - Lid geworden op: 15 nov 2005, 19:41
Om de redenering te ontwikkelen die deze probleemstelling kan verduidelijken, heb je de wiskunde nodig die vroeger in de wetenschappelijke B kreeg. 17- of 18-jarigen die vandaag een richting wiskunde-wetenschappen volgen, zouden het waarschijnlijk wel doorzien.
Deze tip zou moeten helpen:
Als je een teerling hebt met aan alle kanten 6 ogen, dan weet je dat je bij elke worp een 6 zult gooien.
Het wordt dan 1 op 1 wat betreft de waarschijnlijkheid om 6 te gooien.
Nu is dat niet zo en moet je van die 1 de kansen aftrekken dat je géén 6 gooit. Hoeveel blijft er dan over? Dát is de waarschijnlijkheid dat je na 4 worpen een 6 gooit.
Uit de berekeningswijze blijkt ook dat het resultaat anders zal zijn als je 6 keer mag gooien.
Deze tip zou moeten helpen:
Als je een teerling hebt met aan alle kanten 6 ogen, dan weet je dat je bij elke worp een 6 zult gooien.
Het wordt dan 1 op 1 wat betreft de waarschijnlijkheid om 6 te gooien.
Nu is dat niet zo en moet je van die 1 de kansen aftrekken dat je géén 6 gooit. Hoeveel blijft er dan over? Dát is de waarschijnlijkheid dat je na 4 worpen een 6 gooit.
Uit de berekeningswijze blijkt ook dat het resultaat anders zal zijn als je 6 keer mag gooien.
-
Wil. - Lid geworden op: 15 nov 2005, 19:41
Om de waarschijnlijkheid te berekenen dat je met 4 worpen één keer een 6 kunt gooien, kun je de volgende logische redenering maken:
- Stel dat je een dobbelsteen zou hebben met aan alle kanten 6 ogen, dan zal elke worp een 6 opleveren. De waarschijnlijkheid bereikt dan 1 op 1, ofwel 100%.
- Als slechts 5 vlakken van de teerling zes ogen zouden hebben en één vlak een ander getal, dan wordt de waarschijnlijkheid kleiner dan 1. Je zult dan 1 op 6 moeten aftrekken van die 1. Dus 1 – (1/6) = 0,83 ofwel met 83 % waarschijnlijkheid gooi je een 6 bij de eerste worp. Wanneer je 4 keer mag proberen, moet je die breuk tot de 4e macht verheffen. Dan krijg je als uitkomst dat je met 99,92% waarschijnlijkheid een 6 gooit.
- Wanneer je een gewone dobbelsteen gebruikt met slechts één 6, dan wordt de berekening deze:
1 – (5/6)^4 = 1 – 0.4823 = 51.77% kans (= waarschijnlijkheid) om in 4 worpen een 6 te gooien.
De vraag was: ga je op die weddenschap in omdat je weet dat je er een financieel voordeel mee kunt doen?
Met 51.77% waarschijnlijkheid ligt het voordeel aan jouw kant, maar het is miniem. Indien je die proef eindeloos mag herhalen, dan ga je er wel degelijk profijt uit halen. Het hangt bijgevolg af van die voorwaarde of je ermee zult winnen of niet.
Hoe waarschijnlijk is het dan dat je 6 ogen gooit als je 6 keer mag werpen? Zou je in die situatie dat spel willen spelen?
Iets om een tijdje over na te denken.
- Stel dat je een dobbelsteen zou hebben met aan alle kanten 6 ogen, dan zal elke worp een 6 opleveren. De waarschijnlijkheid bereikt dan 1 op 1, ofwel 100%.
- Als slechts 5 vlakken van de teerling zes ogen zouden hebben en één vlak een ander getal, dan wordt de waarschijnlijkheid kleiner dan 1. Je zult dan 1 op 6 moeten aftrekken van die 1. Dus 1 – (1/6) = 0,83 ofwel met 83 % waarschijnlijkheid gooi je een 6 bij de eerste worp. Wanneer je 4 keer mag proberen, moet je die breuk tot de 4e macht verheffen. Dan krijg je als uitkomst dat je met 99,92% waarschijnlijkheid een 6 gooit.
- Wanneer je een gewone dobbelsteen gebruikt met slechts één 6, dan wordt de berekening deze:
1 – (5/6)^4 = 1 – 0.4823 = 51.77% kans (= waarschijnlijkheid) om in 4 worpen een 6 te gooien.
De vraag was: ga je op die weddenschap in omdat je weet dat je er een financieel voordeel mee kunt doen?
Met 51.77% waarschijnlijkheid ligt het voordeel aan jouw kant, maar het is miniem. Indien je die proef eindeloos mag herhalen, dan ga je er wel degelijk profijt uit halen. Het hangt bijgevolg af van die voorwaarde of je ermee zult winnen of niet.
Hoe waarschijnlijk is het dan dat je 6 ogen gooit als je 6 keer mag werpen? Zou je in die situatie dat spel willen spelen?
Iets om een tijdje over na te denken.
-
Wil. - Lid geworden op: 15 nov 2005, 19:41
Correcte toepassing van de hierboven gegeven formule.
Bij 6 keer gooien is de waarschijnlijkheid gelijk aan 66.5%, terwijl het bij 4 keer gooien slechts 51.77% was. De waarschijnlijkheid is bijgevolg een flink stuk gestegen.
Fred vergeet er wel bij te zeggen of je dan wel of niet dit spelletje zou spelen indien je de bedoeling hebt om er financieel winst uit te halen. Dat stond óók in de vraagstelling vermeld.
Als je het voorstel krijgt om dit spel te spelen en je hebt twee derde van de kansen om je inzet dubbel terug te winnen, dan ga je daar na meerdere spelletjes winst mee maken.
Win je ook al na 1 spel? Misschien niet want er blijft nog altijd 33.5% waarschijnlijkheid dat zelfs na zes worpen geen 6 ogen hebt kunnen gooien en het zou best kunnen dat bij die ene poging 'het geluk' nog niet aan jouw zijde is en je je 10 euro inzet kwijt bent.
Dat 'geluk' zal echter meer en meer aan jouw kant komen naargelang je meer spelletjes van 6 worpen hebt gespeeld, terwijl het bij 4 worpen uiteindelijk (na vele tientallen worpen) nog maar onbeduidend in je voordeel zal blijken uit te vallen.
Bij 6 keer gooien is de waarschijnlijkheid gelijk aan 66.5%, terwijl het bij 4 keer gooien slechts 51.77% was. De waarschijnlijkheid is bijgevolg een flink stuk gestegen.
Fred vergeet er wel bij te zeggen of je dan wel of niet dit spelletje zou spelen indien je de bedoeling hebt om er financieel winst uit te halen. Dat stond óók in de vraagstelling vermeld.
Als je het voorstel krijgt om dit spel te spelen en je hebt twee derde van de kansen om je inzet dubbel terug te winnen, dan ga je daar na meerdere spelletjes winst mee maken.
Win je ook al na 1 spel? Misschien niet want er blijft nog altijd 33.5% waarschijnlijkheid dat zelfs na zes worpen geen 6 ogen hebt kunnen gooien en het zou best kunnen dat bij die ene poging 'het geluk' nog niet aan jouw zijde is en je je 10 euro inzet kwijt bent.
Dat 'geluk' zal echter meer en meer aan jouw kant komen naargelang je meer spelletjes van 6 worpen hebt gespeeld, terwijl het bij 4 worpen uiteindelijk (na vele tientallen worpen) nog maar onbeduidend in je voordeel zal blijken uit te vallen.
-
Fred1950 - Lid geworden op: 20 nov 2019, 10:18
Ik speel niet meer met dobbelstenen , alleen nog soms met uw kl*ten.
Ik zou mijn cursus "waarschijnlijkheids rekenen" van de hoge school van de zolder moeten halen om er nog iets zinnigs over te kunnen zeggen. Die was heel diepgaand , maar ik heb in gans mijn beroepscarriere er geen nood aan gehad. Dat is "weggevaagde" kennis ....
-
Wil. - Lid geworden op: 15 nov 2005, 19:41
Een logische evaluatie en antwoord op de vraag op basis van wat hier staat, kun je zonder die diepgaande cursus niet meer aan? Hmmm....Fred vergeet er wel bij te zeggen of je dan wel of niet dit spelletje zou spelen indien je de bedoeling hebt om er financieel winst uit te halen. Dat stond óók in de vraagstelling vermeld.
[tussen haken: vandaag is dat leerstof voor het middelbaar]
-
Fred1950 - Lid geworden op: 20 nov 2019, 10:18
Ik heb niet eens zin om een "logische evaluatie en antwoord" te geven. Het interesseert me gezoonweg niet ....Wil. schreef: ↑05 sep 2023, 16:09Een logische evaluatie en antwoord op de vraag op basis van wat hier staat, kun je zonder die diepgaande cursus niet meer aan? Hmmm....Fred vergeet er wel bij te zeggen of je dan wel of niet dit spelletje zou spelen indien je de bedoeling hebt om er financieel winst uit te halen. Dat stond óók in de vraagstelling vermeld.
[tussen haken: vandaag is dat leerstof voor het middelbaar]
. Mischien dat kansberekening nu al leerstof is in het ASO , maar het zal zeker niet zo diepagaand zijn zoals ik die "stof" moest verwerken. Dat op zich was al een cursus vol formulekes van 1,5 cm dik op A4 papier en met een normaal lettertype gedrukt ( en met weinig lucht tussen de alinea's ). Over en out !
Ik ben veel meer geïnteresseerd hoe Euler aan zijn e=2,7182... kwam en hoe men aan het getal pi = 3,14159 .... kwam.
Dit :
Het getal e=2,7182... is een wiskundige constante met een zeer groot toepassingsveld in de wiskunde. Het getal werd in de 17de eeuw ontdekt als een bijzondere limiet en werd later genoemd naar Leonhard Euler. Het getal e komt vooral voor bij het gebruik van exponentiële functies. Deze functie van de vorm f(x)=e^x heeft de bijzondere eigenschap dat de functiewaarde in elk van zijn punten x gelijk is aan de afgeleide in dat punt (dit is de richtingcoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van de functie).
Ook bij het gebruik van complexe getallen is het getal e geïntroduceerd. De gelijkheid van Euler geeft immers een verband aan tussen e, π (pi) en de complexe i:
e^iπ=-1
.... bevredigt mij nog niet ....
-
Wil. - Lid geworden op: 15 nov 2005, 19:41
Dat antwoord geeft men wel eens vaker als men niet in staat is om ....Fred1950 schreef: ↑05 sep 2023, 21:53Ik heb niet eens zin om een "logische evaluatie en antwoord" te geven.Wil. schreef: ↑05 sep 2023, 16:09Een logische evaluatie en antwoord op de vraag op basis van wat hier staat, kun je zonder die diepgaande cursus niet meer aan? Hmmm....Fred vergeet er wel bij te zeggen of je dan wel of niet dit spelletje zou spelen indien je de bedoeling hebt om er financieel winst uit te halen. Dat stond óók in de vraagstelling vermeld.
[tussen haken: vandaag is dat leerstof voor het middelbaar]
-
Fred1950 - Lid geworden op: 20 nov 2019, 10:18
Bah nee , omdat het antwoord afhankelijk is van het "buikgevoel" , en dus niet exact wetenschappelijk.
Nogmaals , mij interesseert hoe Euler op het idee van zij getal "e" kwam en waarom hij dat een interessant getal vond. De afgeleide ( differentiaal ) van e^x is gelijk aan e^x zelf , en dat is wat hem boeide. Dat heeft hij "puur theoretisch" gevonden. Wat pi ( π ) betreft heb ik wel zo mij idee hoe men ooit aan dat getal kwam ( o.a. door Archimedes zijn bedenkingen over regelmatige veelhoeken )... Dat is gegroeid uit praktijkervaring van de eerste architecten van onze beschaving ( o.a. Babyloniërs ) , en dus niet puur theoretisch.
Nogmaals : "over en out" over uw dobbelstenen. Ik speel niet meer mee.
Nogmaals , mij interesseert hoe Euler op het idee van zij getal "e" kwam en waarom hij dat een interessant getal vond. De afgeleide ( differentiaal ) van e^x is gelijk aan e^x zelf , en dat is wat hem boeide. Dat heeft hij "puur theoretisch" gevonden. Wat pi ( π ) betreft heb ik wel zo mij idee hoe men ooit aan dat getal kwam ( o.a. door Archimedes zijn bedenkingen over regelmatige veelhoeken )... Dat is gegroeid uit praktijkervaring van de eerste architecten van onze beschaving ( o.a. Babyloniërs ) , en dus niet puur theoretisch.
Nogmaals : "over en out" over uw dobbelstenen. Ik speel niet meer mee.
-
Wil. - Lid geworden op: 15 nov 2005, 19:41
Als je voorheen al gezegd hebt dat het over en out is en daar niet naar handelt, dan is er iets mis met je consequent handelen.
Eigenlijk breng je weinig nieuws aan in de discussie. Jammer dat je de initiële vraag niet kon beantwoorden.
-
Wil. - Lid geworden op: 15 nov 2005, 19:41
De formule die moest toegepast worden is deze: 1 – (5/6)^6 = 1- 0.33 = 0.665
Bij 6 keer gooien is de waarschijnlijkheid gelijk aan 66.5%, terwijl het bij 4 keer gooien slechts 51.77% was.
Een kansspel waarbij je met 66,5% waarschijnlijkheid de dubbele inzet wint, is een no-brainer: die kans moet je telkens opnieuw nemen want na meerdere pogingen zul je duidelijk de winnaar zijn.
Nochtans zijn er altijd lieden die redeneren dat omdat elke nieuwe worp met een teerling los staat van alle vorige worpen de dobbelsteen bijgevolg ofwel op zes zal vallen, ofwel op een aantal ogen van 1 tot 5 en dat het dus altijd 50% kans is en niet 66,5%. (bemerk de onderstreepte woorden en ook het woord ‘kans’)
Wie vasthoudt aan die visie geeft daarmee aan het onderscheid tussen waarschijnlijkheid en mogelijkheid niet te kunnen vatten.
In het Nederlands hebben we voor deze twee totaal verschillende begrippen echter ook een woord dat beide inhouden – elk in hun eigen context - kan dekken. Het is immers zo dat de term ‘kans’ ofwel in de betekenis van waarschijnlijkheid, ofwel in de betekenis van mogelijkheid gebruikt wordt in de dagelijkse spreektaal. Dat schept verwarring in het denken en daardoor kun je ondoordachte uitlatingen lezen zoals die al eerder in dit topic aan bod kwamen.
Bij 6 keer gooien is de waarschijnlijkheid gelijk aan 66.5%, terwijl het bij 4 keer gooien slechts 51.77% was.
Een kansspel waarbij je met 66,5% waarschijnlijkheid de dubbele inzet wint, is een no-brainer: die kans moet je telkens opnieuw nemen want na meerdere pogingen zul je duidelijk de winnaar zijn.
Nochtans zijn er altijd lieden die redeneren dat omdat elke nieuwe worp met een teerling los staat van alle vorige worpen de dobbelsteen bijgevolg ofwel op zes zal vallen, ofwel op een aantal ogen van 1 tot 5 en dat het dus altijd 50% kans is en niet 66,5%. (bemerk de onderstreepte woorden en ook het woord ‘kans’)
Wie vasthoudt aan die visie geeft daarmee aan het onderscheid tussen waarschijnlijkheid en mogelijkheid niet te kunnen vatten.
In het Nederlands hebben we voor deze twee totaal verschillende begrippen echter ook een woord dat beide inhouden – elk in hun eigen context - kan dekken. Het is immers zo dat de term ‘kans’ ofwel in de betekenis van waarschijnlijkheid, ofwel in de betekenis van mogelijkheid gebruikt wordt in de dagelijkse spreektaal. Dat schept verwarring in het denken en daardoor kun je ondoordachte uitlatingen lezen zoals die al eerder in dit topic aan bod kwamen.
-
Wil. - Lid geworden op: 15 nov 2005, 19:41
Een nieuwe brain teaser om een tijdje over na te denken:
We bevinden ons in de zoo en wanneer we aan het domein van de beren komen, zien we een witte beer en een zwarte beer zitten. Als ik je zeg dat één van deze twee beren een mannelijke beer is, hoe waarschijnlijk is het dan dat de tweede beer óók mannelijk is?
Het is mogelijk dat het een mannetje is en het is mogelijk dat het een vrouwtje is. Over die mogelijkheden bestaat geen twijfel meer en dat interesseert me niet; de vraag is hoe waarschijnlijk het is dat het een mannelijke beer is? Waarschijnlijkheid kan men uitdrukken in een percentage.
Leg de redenering uit in eenvoudig en begrijpbaar Nederlands, a.u.b.
We bevinden ons in de zoo en wanneer we aan het domein van de beren komen, zien we een witte beer en een zwarte beer zitten. Als ik je zeg dat één van deze twee beren een mannelijke beer is, hoe waarschijnlijk is het dan dat de tweede beer óók mannelijk is?
Het is mogelijk dat het een mannetje is en het is mogelijk dat het een vrouwtje is. Over die mogelijkheden bestaat geen twijfel meer en dat interesseert me niet; de vraag is hoe waarschijnlijk het is dat het een mannelijke beer is? Waarschijnlijkheid kan men uitdrukken in een percentage.
Leg de redenering uit in eenvoudig en begrijpbaar Nederlands, a.u.b.