Wiskundig probleem

[Dicksy]

door Wil. » 23 minuten geleden
Wanneer dit spel slechts 1 keer wordt gespeeld, dan valt niet te zeggen of de kandidaat de auto wint. Maar als dit spel bv. een 20-tal keer of zelfs meer gespeeld wordt, dan zal duidelijk blijken dat de kandidaat die telkens wisselt véél vaker juist zit dan de 50% die men op het eerste gezicht verwacht.

De kans zal altijd 1 op 2 blijven. Hij kan evengoed 10 keer mis zitten met telkens te wisselen als 10 keer goed te zitten met telkens dezelfde doos aan te duiden (zijn eerste gedacht aanhouden).
Dat hij zijn kansen verhoogt van 1 op 3 naar 2 op 3 is altijd en zal altijd zo zijn net omwille van het feit dat er één mogelijkheid (deze die geopend wordt door de quizmaster) geëlimineerd wordt.
Gooi die lege doos (doos C) van tafel, daar zit toch niks in, en het verandert de zaak helemaal want nu kan de quizmaster geen doos meer openen. Het is enkel omdat de quizmaster een doos kan openen dat deze redenering zou kunnen opgaan maar in realiteit staan er maar twee dozen op tafel waaruit er kan gekozen worden en dan blijft het ook gewoon geluk.

[E.T.]

Wanneer de kandidaat wisselt van A (zijn eerste keus) naar B, dan heeft hij geen zekerheid dat hij de autosleutel kiest, maar zijn kansen stijgen wel van 1 op 3 naar 2 kansen op 3. Het is nog altijd perfect mogelijk dat de sleutel in doos A zat, maar het ging erom de kansen te verhogen.

Klopt helemaal, daarom schreef ik eerder
dat als van mening veranderen (wisselen) geen nadeel is is het sowieso een voordeel en maakt hij meer kans.
In plaats van 1 op 3 is het 1 op 2 of te wel 33% tegen 50

Wanneer dit spel slechts 1 keer wordt gespeeld, dan valt niet te zeggen of de kandidaat de auto wint. Maar als dit spel bv. een 20-tal keer of zelfs meer gespeeld wordt, dan

Je gaat er hier gemakshalve van uit de de sleutel om en om in een doos zit. Ditis echter nooit het geval!

[E.T.]

Mijn prof deed in het begin van elk academiejaar hierover een proefje. Iedereen maakt twee lijstjes van elk 10 kop of munt resultaten ... een lijstje gefantaseerd en een lijstje met de werkelijk uitslag van het opgooien van een muntstuk.

Zij kon tot ieders verbazing beide lijstjes herkennen!

Ongeveer om en om komt in de kansberekening niet voor!

[Dicksy]

De kans is even groot dat men van de 20 keer 10 keer de doos met sleutel aanduidt als 10 keer de doos zonder sleutel aanduidt, de kans blijft 50/50. Net zoals men 15 keer de doos met sleutel zou kunnen aanduiden als 15 keer de doos sleutel zou kunnen aanduiden. Het blijft voor mij eerder een gelukskwestie dan een wiskundige berekening.

[Wil.]

door Wil. » 23 minuten geleden
Wanneer dit spel slechts 1 keer wordt gespeeld, dan valt niet te zeggen of de kandidaat de auto wint. Maar als dit spel bv. een 20-tal keer of zelfs meer gespeeld wordt, dan zal duidelijk blijken dat de kandidaat die telkens wisselt véél vaker juist zit dan de 50% die men op het eerste gezicht verwacht.

De kans zal altijd 1 op 2 blijven. Hij kan evengoed 10 keer mis zitten met telkens te wisselen als 10 keer goed te zitten met telkens dezelfde doos aan te duiden (zijn eerste gedacht aanhouden).
Dat hij zijn kansen verhoogt van 1 op 3 naar 2 op 3 is altijd en zal altijd zo zijn net omwille van het feit dat er één mogelijkheid (deze die geopend wordt door de quizmaster) geëlimineerd wordt.


Gooi die lege doos (doos C) van tafel, daar zit toch niks in, en het verandert de zaak helemaal want nu kan de quizmaster geen doos meer openen. Het is enkel omdat de quizmaster een doos kan openen dat deze redenering zou kunnen opgaan maar in realiteit staan er maar twee dozen op tafel waaruit er kan gekozen worden en dan blijft het ook gewoon geluk.

Wat bedoel je nu eigenlijk (zie de vetgedrukte stukken)? Blijft het 1 op 2? Of wordt het 2 op 3 ?

2 op 3 is toch duidelijk een verbetering t.o.v. 1 op 3, nietwaar?

[Dicksy]

Misschien verkeerd uitgedrukt akkoord maar zijn kansen verhogen niet door te wisselen net omdat hij ook niet weet waar de sleutel in zit. De kans dat zijn eerste gedacht de juiste is is even groot als dat hij zou wisselen en dat dat dan de juiste keuze is. Het blijft voor mij een geluk of pech en enkel de enige factor die bepaalt of hij wint of of niet.

De kans is even groot dat men van de 20 keer 10 keer de doos met sleutel aanduidt als 10 keer de doos zonder sleutel aanduidt, de kans blijft 50/50. Net zoals men 15 keer de doos met sleutel zou kunnen aanduiden als 15 keer de doos zonder sleutel zou kunnen aanduiden. In beide gevallen door telkens te wisselen. Het blijft voor mij eerder een gelukskwestie. dan een wiskundige berekening.

[Wil.]

Dus: jouw mening is dat het niet helpt om te wisselen? Het zal altijd 50/50 zijn?


Dat is niet zo. Als jij 1 doos mag kiezen (je kiest A) en een andere (ingebeelde) speler zou de 2 andere dozen (B en C) mogen kiezen, wie maakt dan de meeste kans op de sleutel? Ook als de gastheer van de show telkens van de medespeler 1 lege doos zou openen, dan nog blijft de groep dozen B+C meer kansen bevatten.

Doe dit 20 keer en je zult merken dat het voordeel naar die andere speler gaat. Het mooie is dat jij , door te wisselen, in feite die andere (ingebeelde) speler wordt.

[Dicksy]

Ook als de gastheer van de show telkens van de medespeler 1 lege doos zou openen, dan nog blijft de groep dozen B+C meer kansen bevatten.

Zeker blijven B+C meer kansen bevatten net omdat de gastheer één mogelijke kans geëlimineerd heeft.
Door die doos te elimineren verhoogt hij de kans van de deelnemer door zijn keuze te beperken van 3 naar 2 dozen.
Nu is het toch de keuze om aan de deelnemer om te bepalen of hij bij zijn eerste keuze blijft of wisselt. De kans blijft toch 50/50 dat hij de juiste keuze maakt. Is de juiste keuze bij zijn eerste gedacht blijven of is de juiste keuze te wisselen. Dat is toch gewoon het geluk hebben om de juiste keuze te maken.

Doe dit 20 keer en je zult merken dat het voordeel naar die andere speler gaat. Het mooie is dat jij , door te wisselen, in feite die andere (ingebeelde) speler wordt.

Waarom ga je er altijd van uit dat dat wisselen ‘altijd de winst’ oplevert of meer kans op winst, dat begrijp ik toch niet goed.

[Wil.]

Doe dit 20 keer en je zult merken dat het voordeel naar die andere speler gaat. Het mooie is dat jij , door te wisselen, in feite die andere (ingebeelde) speler wordt.

Waarom ga je er altijd van uit dat dat wisselen ‘altijd de winst’ oplevert of meer kans op winst, dat begrijp ik toch niet goed.

"Altijd" is niet het juiste woord want na slechts één beurt van dit spel, kan de speler inderdaad de lege doos treffen, ook al heeft hij gewisseld.

Maar aangezien je twee kansen op drie kunt krijgen door te wisselen en slechts één op drie door vast te houden aan de eerste keuze, zal door het grote aantal keren (bv. 20) dat dit spel gespeeld wordt, het voordeel van die 2 op 3 beginnen duidelijk worden. (als je het honderd keer doet, dan is het met grote stelligheid zo dat wie wisselt ook vaakst wint.)

[Wil.]

Klopt helemaal, daarom schreef ik eerder
dat als van mening veranderen (wisselen) geen nadeel is is het sowieso een voordeel en maakt hij meer kans.
In plaats van 1 op 3 is het 1 op 2 of te wel 33% tegen 50

Ook als hij niet wisselt, heeft hij volgens jou dan 50% kans op winst?
Dat is niet het geval. Het blijft 33%. Als hij wisselt wordt het 2 op 3 (66%)

[Dicksy]

Maar aangezien je twee kansen op drie kunt krijgen door te wisselen en slechts één op drie door vast te houden aan de eerste keuze, zal door het grote aantal keren (bv. 20) dat dit spel gespeeld wordt, het voordeel van die 2 op 3 beginnen duidelijk worden. (als je het honderd keer doet, dan is het met grote stelligheid zo dat wie wisselt ook vaak wint.)

Verlies je hier nu niet uit het oog dat het slechts om 2 dozen gaat en niet meer om drie?

[Wil.]

Neen, je beziet die ene overblijvende doos (B na uitschakeling van C) als een nieuw dilemma van 2 dozen waartussen gekozen moet worden. Dat is niet het geval. Doos B is het element van de oorspronkelijke combinatie [B+C] en die combinatie bevat 66% van de kansen. Alleen is na het openen van doos C al gebleken dat C niet de sleutel bevat.

Door veelvuldig dit spel te spelen komt de kracht van het statistisch voordeel bovendrijven en blijkt dat wisselen meer keren (niet altijd!) tot winst leidt.

[Dicksy]

Door veelvuldig dit spel te spelen komt de kracht van het statistisch voordeel bovendrijven en blijkt dat wisselen meer keren (niet altijd!) tot winst leidt.

Dat zou aan een test kunnen onderworpen worden met dezelfde speler met het fameuze balletje balletje spel.
- 3 bekers gelabeld A,B en C.waaronder één een erwt.
- 1 beker zonder erwt wordt omgedraaid en de kandidaat mag dan gokken onder welk van de twee resterende bekers de erwt zit.
Zijn voorkeur moet niet geweten zijn want dan verliest hij altijd.
- 20x herhalen en noteren 1x per dag gedurende 1 week bv.

De kans blijft voor mij even groot dat hij na 1 week meer mis gegokt heeft als dat de kans even groot is dat hij na 1 week meer juist gegokt heeft.

[E.T.]

Door veelvuldig dit spel te spelen komt de kracht van het statistisch voordeel bovendrijven en blijkt dat wisselen meer keren (niet altijd!) tot winst leidt.

Er is in de kansbereking geen enkele reden waarom meerdere keren spelen het wisselen tot winst zou leiden.

Trouwens uw 66% (2 van de 3) is gewoon een lapsus.

[Wil.]

Trouwens uw 66% (2 van de 3) is gewoon een lapsus.

Lapsus??

Er is in de kansbereking geen enkele reden waarom meerdere keren spelen het wisselen tot winst zou leiden.

Natuurlijk is dat wél zo. Het is essentieel in statistisch onderzoek dat je wel grote groepen (mensen, planten, dieren, verschijnselen) moet onderzoeken om juistere conclusies te kunnen trekken.


Een simpel voorbeeld zal dat hopelijk duidelijk maken.

Als je muntstuk 2 keer opgooit, dan is er echt geen zekerheid dat je 1 keer kruis en 1 keer munt gooit (mooi 50/50 verdeeld). Het is best mogelijk dat 2 keer dezelfde kant gooit.
Doe je dat 10 keer, dan is de kans al veel kleiner dat het 10 keer dezelfde kant is die boven ligt. Doe het 20 keer en de kans is enorm klein. Doe dat duizend keer en je merkt dat de verdeling in evenwicht zal zijn (benadert dan 50%)

Heb je nu een muntstuk dat aan de ene kant zwaarder is dan aan de andere kant, dan stijgt de kans dat het zwaardere deel onderaan ligt. Ook dan kun je na 2 worpen niets beslissen, maar na 20 keer zal er al een voordeel duidelijk worden. Na 1000 keer is het met absolute zekerheid zo dat het zware deel véél vaker onderaan ligt en het lichtere deel bovenaan.

In het geval met de 3 dozen heeft één combinatie [B+C samen] een voordeel t.o.v. die ene doos. Dat voordeel komt niet noodzakelijk boven na één testje, maar wel na 20 tests.